Tempo og transcendens

Efter mit 02 i mundtlig eksamen i faget Analyse 0 er jeg ved at indse, at min studieteknik kræver væsentlige forbedringer. Forelæseren, Ernst Hansen, lægger med rette pædagogisk vægt på transcenderende oplevelser i læringen af matematik uden at det på nogen måde bliver flyvsk: Formaliteterne i form af logisk udledning af beviser skal være på plads. Inspireret af Ernst sætter jeg derfor følgende program for næste blok:

  1. Tillad stilstand* (med Ernst’s ord “stir på problemet”) mindst en time og højst to hver dag, du arbejder med stoffet. Analysér hvad vi ved og vanskelighederne med at komme frem til et resultat uden at blive bange for ikke at slå til, eller ikke at nå det:
    • Visualisér (abstrakt).
    • Drag paralleller til kendt stof (akkomodér).
    • Illustrér, find eksempler på anvendelse af teorien.
    • Reflektér over mønstre i, hvad du finder svært og sammenlign disse mønstre med hvad kammerater finder let og svært i stoffet. Måske kan det give dig en nøgle til hvordan du bedst lærer stoffet.
  2. Løs overkommelige opgaver, hvor du kan lære teknikken i en problemtype. Stil dem evt. selv, hvis materialets opgaver virker uoverkommelige. Gør også dette en time eller to hver arbejdsdag.
    • Træn genkendelse af problemtype.
    • Træn tempo i opgaveløsning.
    • Bliv tryg ved (den del af) stoffet, (du mestrer).

Og vær klar over, hvilket af de to formål, du arbejder under, slut det ene af før du begynder på det andet.

*) Misforstå ikke ordet stilstand! Passivitet hjælper ikke, det er spild af tid. Men tanker kan stå stille eller bevæge sig, ligesom kroppen og andre ting kan bevæge sig fysisk – eller lade være. Jeg mener ikke forkrampet eller stiv, jeg mener hvile, når jeg skriver at stå stille. Læser du en sætning med noget, du ikke forstår, så lad sætningen hvile og find ud af, hvad det betyder, som du ikke lige forstod. Hermed lader du sætningen stå stille, men alligevel arbejder du videre med problemstillingen.

Posted in Flow, Kontrol, Matematik, Mestring, Motivation, Psykoedukation, Ængstelse | Tagged , , , , , , , | 1 Comment

Diedergruppe og plukkerobot

D6 er gruppen af symmetrier på (rigide bevægelser af) en trekant (da $6=2\cdot 3$) og til at visualisere problemstillinger, som elementer i denne gruppe kan hjælpe med, forestiller jeg mig en robotgrab med 3 fingre, hver finger er forskellig, fx har en et værktøj (eller mellem de to af fingrene sidder et værktøj).

BarrettHand

Lad os sige, at robotten kan plukke genstanden fra to sider.

Værktøjerne i grabben gør, at der er forskel på, om genstanden gribes på den ene anden eller tredje mulige måde (afhængigt af hvordan grabben drejes inden den griber). Og da genstanden kan plukkes “ude i rummet”, skal robotten vælge, om den tager fat “ovenfra” eller “nedenfra”: der vil der være tale om “spejlinger” af grabbens trefingrede “trekant”, som dobler antallet af muligheder.

Robotten styres af et (eller flere) kamera(er), der placerer genstanden i rummet og bestemmer dens orientering. Disse oplysninger sendes som en meddelelse til robotten, der nu skal vælge mellem de $3\times 2$ mulige greb.

Diedergruppen $D_2n$

Gruppeteorien betegner det matematiske objekt, som består af de tre mulige rotationer af “hånden” og valget mellem at gribe “fra oven” eller “fra neden” som en diedergruppe. Klassisk visualisering er, at en liggende, ligesidet trekant, kan løftes op og lægges ned på samme plads på 3 forskellige måder med samme side opad, og tilsvarende tre måder med den anden side opad: Tag et stykke papir, klip det til, så det er en ligesidet trekant, skriv “F” på papiret og gør forsøget!

Kilde: http://www.dm.unito.it/~cerruti/mathnews0812.html

Der er flere måder at “forklare” de $3\times 2$ forskellige måder at lægge trekanten tilbage på. Vigtigst er, at hvis man vil se på tre “angrebsvinkler” og se dem “fra to sider”, så er det netop de samme seks muligheder, der dukker op.

Cayley-diagram for sammensætning

Lad os sige, at robotarmen kan modtage to typer instrukser:

  • Rotér (og det kan jo ske én, to, eller tre gange, men hvis man roterer i tre “hak” er det det samme som slet ikke at rotere).
  • Grib fra den anden side (det, som i gruppeteorien for diedergrupper kaldes “spejling”).

Vi kan her bemærke, at hvis man beder robotten rotere tre hak med sin “trekant”, kunne man lige så godt bede den blive hvor den var. Hvis man tilsvarende beder den gribe “fra den anden side” to gange, så er den jo også tilbage – også her kunne man ligeså godt lade den blive i udgangspositionen. Det har teorien også et navn for: Identitet (altså det samme).

Når styresystemet skal sende besked til robotarmen, hvordan den skal gribe (robotten har  allerede fået besked om hvor genstanden er), så kan det altså ske med korte koder i form af (ingen, et eller to) rotationshak r og (ingen eller en) “på den anden side” s. Altså seks kombinationer af r og s. På billedet, som jeg har “lånt” af Group Explorer kaldes identiteten “e” og spejling “f”, men “r” betyder det samme.

Cayley-D6-group-explorerDe røde pile i dette Cayley-diagram betyder “rotér 1 gang” (mere) og de blå streger betyder “grib fra den anden side”. Udgangspunktet, “e” er vist i toppen.

Inputs er velkomne!

Hvis du har forslag til fx hvilke genstande der kunne gribes af robotarmen, eller andre “praktiske anvendelser” af diedergrupper, ikke nødvendigvis $D_{2\times 3}$, så kommentér gerne. Jeg lover ikke daglige opdateringer, men særligt frem til eksamen i starten af april vil det da være lækkert med nogle konkrete billeder på den noget abstrakte algebra!

Posted in Matematik | Tagged , , , , | Leave a comment

Trello intro – Tænk-par-del øvelse


Trello intro – Tænk-par-del øvelse

  • Først 4 minutter alene: Åbn alle kort, læs beskrivelsen og prøv at klikke i tjeklisterne. Klik fluebenene væk igen, så du her og nu efterlader alle tjeklister “ubrugte”. Prøv også at flytte et kort fra en liste til en anden. Flyt kortet tilbage igen, så også listerne fremstår “ubrugte” i første omgang.
  • Så 5 minutter med skuldermakker: Det I skal bruge de her kort til er at I bliver enige om at enhver i gruppen kan stå må mål for de flueben, der er sat. Prøv det derfor af to og to: Find et punkt, som den ene synes, at det kan hun eller han godt men makkeren synes ikke hun eller han kan, så forklar hinanden det og prøv det af i Excel eller Google Regneark. Når den, der følte sig mindst sikre i “et flueben”, så kan gøre det der stod, i Excel, er fluebenet klar til at blive sat. Det er “mekanikken” I skal bruge i denne øvelse, som vi gentager dagligt kurset igennem.
  • Til sidst 2 minutter i gruppen: Der er mange flere flueben end dem jeg regner med I kan nå at diskutere igennem i løbet af den kommende uge. Styr derfor efter overskrifter og sværhedsgrader, som passer til jeres gruppe. Bliv enige om ambitionsniveau og dagens program ud fra hvad underviser har sagt, der skal gennemgås.
Posted in Blended learning, Flow, Mestring | Tagged , , , | 1 Comment

Kursus i Regneark med brug af Trello

På mit faste halvårlige kursus i Regneark på kontoruddannelsen har jeg for første gang brugt projektstyringsværktøjet Trello til en modificeret version af CL-strukturen Huskesedler. Mit indtryk var, at med et stort hold (30 elever) med vidt forskellige forudsætninger var gruppens engagement og fælles ansvar for at lære det, som gruppen havde som mål, en væsentlig forudsætning for succes. Continue reading

Posted in Blended learning, Didaktik, Feedback, Flow, Motivation | Tagged , | Leave a comment

de Sautoy på BBC

Oxford-professoren Marcus de Sautoy er algebraiker (gruppeteoretiker) og en udmærket formidler generelt af matematiske emner.

Han har lavet flere store dokumentarserier for BBC Four: Story of Math fra 2008, The Code fra 2011 og en radiofortælling i 10 dele à et kvarters varighed: A Brief History of Mathematics fra 2014. Desuden er der en godt fortalt TED præsentation om “Symmetry, reality’s riddle

Posted in Formidling, Matematik | Tagged , , | Leave a comment

Hvor sandsynligt er det?

ABC bringer en historie om en “stor statistisk sjældenhed”. Men hvor ofte – eller sjældent –  ser vi egentlig tvillinger født på hver side af årsskiftet? Kom med et bud!

Posted in Biologi, Fordeling, Hyppighed, Matematik, Sandsynlighed, Statistik | Tagged , , , | Leave a comment

Feedback er vigtig

Når noget er svært er det særlig vigtigt med feedback. Online feedback er behagelig uafhængigt af tid og sted, og da jeg skulle teste et logisk mønster (regulære udtryk) til match af adresser, var feedback fra Debuggex helt i top!

 

Posted in Generelt | Leave a comment

Antallet af forskellige rester ved heltalsdivision

Lad $d, D, r\in \mathbb{N}, n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\leq D$. Antag desuden, at $D=d\cdot n+r$. Vi siger, at $r$ er resten ved heltaldivision, eller $r$ er “$D$ modulo $d$”, hvilket skrives $r=D\mod{d}$.

Postulat

Antallet af forskellige rester ved heltalsvidision, dvs. antallet af elementer i mængden $R\ni r$, er $d$.

Bevis

For enthvert $d$ er der præcis $d$ forskellige situationer med heltalsrest:
$\begin{array}{cclc}\text{Divisor}, D&=&\text{Divisor } d\cdot n+r&\text{Modulo}, r\\
D&=&d\cdot n & 0\\
&=&d\cdot n+1& 1\\
&=&d\cdot n+2& 2\\
&=&\vdots&\vdots\\
&=&d\cdot i& i\\
&=&\vdots&\vdots\\
&=&d\cdot n+(d-1)& d-1\\
&=&d\cdot n+d = d\cdot (n+1) & 0\\
\end{array}$
Det ses, at mønsteret fra $D=d\cdot n+1$ gentages for $D=d\cdot n+(d+1)=d\cdot (n+1)+1$

Posted in Logik, Matematik | Tagged , , , , | Leave a comment

Ligner vi tyskerne?

DR P1′s Orientering bragte for nyligt et indslag på en ti minutters tid. Indslaget kunne berette, at de unge ledertalenter i Tyskland ikke gider lange arbejdsdage og store Mercedeser, men hellere ville spille i band med vennerne og tage på lange rejser med familien. Hvis det kunne kombineres med et ambitiøst arbejde, så fint nok, men kunne det ikke, var retten til selv at bestemme over sin tid vigtigere end status.

Når vi underviser, tager vi folk ud af dagligdagen for at forberede dem på fremtiden. – Hvilken fremtid forbereder du dine kursister til? Giver vi vores elever og kursister muligheden for at eksperimentere med arbejdsformer, der er uafhængige af geografiske og skemamæssige begrænsninger? Tilstedeværelseskulturen vakler.

Som underviser, der vil behandle denne fremtid kompetent, må jeg styrke mine kulturelle kompetencer med hensyn til fleksibel, virtuel tilstedeværelse.

Begejstring er vigtig for disse unge, ikke forbilleder at se op til. Også her er kateteret med rette kommet ned fra sit podie. Tilsvarende er der i undersøgelsen på side 15, en liste over No-gos. Kan du frasige dig alle sytten?

Men der er jo altid spørgsmålet om, hvor meget vi og vores unge ligner tyskerne.

Posted in Didactics, Didaktik, Etik, Feedback, Flow, IT, Motivation, Psykoedukation, Tvang | Tagged , , , , | Leave a comment

Sådan får jeg matematiske ligninger til at spille med MathJax

Jeg logger på mit WordPress site som admin, og følger instruktionen på MathJax’ netsted.

Sålededes får jeg \ [\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\ ] (mellemrummet mellem backslash og kantet parentes skal væk for at MathJax fanger LaTeX-strengen) til at blive:

\[\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\]

Posted in Site management | Tagged , | Leave a comment