DIS 2- Logik

Logiske konnektiver $\neg$, dss. $\lnot$, samt $\wedge,\vee,\Rightarrow$ og $\Leftrightarrow$

Kaldes også logiske operatorer. Lützen, side 10. Wikipedia (en). Lad $p$ og $q$ være udsagn eller prædikater.

  • Konjunktion: $p\wedge q$.
  • Disjunktion: $p\vee q$.
  • Negation: $\neg p$.
  • Implikation: $p\Rightarrow q$.
  • Biimplikation: $p\Leftrightarrow q$.

Matematiske udsagn er (iflg. Lützen, definition 34, side 9) information, der gør det muligt entydigt at afgøre, om de er sande eller falske. En særlig del af de matematiske udsagn indeholder en eller flere frie variable, og denne type udsagn benævnes prædikater (iflg. Lützen, definition 38, side 9). Bemærk den fortløbende nummerering uanset typen af indhold!

Modstrid og tautologi

Iflg. definition 42, side 11 er en modstrid et sammensat udsagn som er falsk for alle sandhedsværdier af de i sammensætningen indgående udsagn.

Modsvarende beskrives en tautologi med definition 44 som et sammensat udsagn, der altid er sandt. Bemærk, at jeg her bruger ordet “altid” i den løse betydning “for alle sandhedsværdier af de indgående udsagn”. I forelæsning 1, blev tautologi beskrevet som en disjunktiv syllogisme.

Konjunktion: $p\wedge q$

Sprogligt: “$p$ og $q$”.

Eksempel – Udsagnet $p$:  For tiden yder vi 7% rabat på alle køb. Oplysningen indeholder ingen frie variable og tilhører derfor den bredere klasse, udsagn.

Prædikatet $q$: Ved køb af colli på mindst 20 giver vi 10% rabat. Oplysningen $q$ indeholder den frie variabel antal, hvorfor den i matematisk sammenhæng kan betegnes som det smallere prædikat.

Konjunktionen $p\wedge q$: Du får både sommer- og mængderabat på din bestilling af 25 blyantspidsere.

Sandhedstabel for konjunktion

$p$ $q$ $p\wedge q$ $q\wedge p$
S S S S
S F F F
F S F F
F F F F

Det ses af, at kolonnerne for konjunktion giver samme resultat uanset rækkefølgen, at konjunktion er associativ: $p\wedge q \equiv q\wedge p$.

Disjunktion: $p\vee q$

Sprogligt: “$p$ eller $q$”. Eksempel – Udsagnet $p$:  Køer giver mælk for at ernære deres afkom efter de har kælvet. Udsagnet $q$:  Kalve ernærer sig af mælk i deres første levetid. $p\vee q$: Kalven overlever den første tid ved at drikke mælk fra en ko. Om moderdyret, kalven dier hos – eller med hvis mælk den bliver fodret – er moder til netop denne kalv er uvedkommende for det sammensatte udsagn, disjunktionen.

Sandhedstabel for disjunktion

$p$ $q$ $p\vee q$ $q\vee p$
S S S S
S F S S
F S S S
F F F F

Det ses af, at kolonnerne for disjunktion giver samme resultat uanset rækkefølgen, at disjunktion er associativ: $p\vee q \equiv q\vee p$.

Negation: $\neg p$

Sprogligt: “ikke $p$”. Eksempel – Udsagnet $p$: Der er en McDonald’s i Slagelse. Negationen $\neg p$: Ingen McDonald’s i Slagelse.

Sandhedstabel for negation

$p$ $\lnot p$ $\lnot\lnot p$
S F S
F S F

Bemærk, at man med dobbelt negation “vender tilbage” til udgangspunktet. Bemærkning 53: Begræns brugen af negationer for at styrke læsbarheden af en udsagnsrække, fx ved bevisførelse.

Implikation: $p\Rightarrow q$

Sprogligt: “$p$ kun hvis $q$”.

  • Hypotese: $p$.
  • Konklusion: $q$.

Eksempel – Det hypotetiske udsagn $p$: Jeg er heldig. Det konklusive prædikat $q$:  Jeg har lodsedlen med det heldige nummer. Implikationen $p\Rightarrow q$ giver herfra det sammensatte udsagn: Jeg er kun heldig, hvis jeg har vinderlodden. Eller, hvis $\lnot q$: Øv, igen en nitte. Det er måske overraskende, at det er sandhedsværdien af $q$, der afgør sandhedsværdien af implikationen (skal være sand, bortset fra den sande implikation i tilfælde at at både hypotese og konklusion er falske). Løst formuleret er altså hypotesens rigtighed betinget af, om konklusionen er korrekt.

Samme implikation kan også skrives $q\Leftarrow p$.

Sandhedstabel for implikation, med kontrapositioner

$p$ $q$ $p\Rightarrow q$ $q\Rightarrow p$ $\lnot p\Rightarrow \lnot q$ $\lnot q\Rightarrow \lnot p$
S S S S S S
S F F S S F
F S S F F S
F F S S S S

Kontraposition af en implikation $p\Rightarrow q$ (kontraponeret implikation) er beskrevet med definition 50: $(\lnot q\Rightarrow \lnot p) \equiv (p\Rightarrow q)$. Af definition 50 følger den kontraponerede implikation, at det sammensatte udsagn “Jeg er (kun) uheldig, hvis jeg har en nitte” er korrekt (sandt).

Biimplikation: $p\Leftrightarrow q$

Sprogligt: “$p$ kun hvis og kun hvis $q$”. Eksempel – Udsagnet $p$: Broccoli er godt mod kræft. Udsagnet $q$: Jeg arbejder på at nedbringe min risiko for at få kræft. Biimplikationen $p\Leftrightarrow q$: Selvom jeg hader det grønne lort, kan jeg godt spise broccoli, hvis det hjælper mod kræft.

Sandhedstabel for biimplikation: $p\Leftrightarrow q$

$p$ $q$ $p\Leftrightarrow q$
S S S
S F F
F F F
F F S

Bemærk, at $p$ er logisk ækvivalent med $q, p\equiv q$, hvis $p\Leftrightarrow q$ er en tautologi.

Sammensætning af prædikater

Vær opmærksom på (bemærkning 57, side 13) det overraskende i, at en implikation $p\Rightarrow q$ er sand, når udsagnet $\lnot p\wedge \lnot q$ er sandt – fx den i matematisk forstand sande implikation (2.19): $2<1 \Rightarrow \sin{2}=10^5$, og “Hvis Anders And er min onkel, så kører rektor hver dag fra Helsingør til Næstved på ethjulet cykel“.

Kvantorer

To kvantorer er beskrevet fra side 14: al-kvantor $\forall$ og eksistenskvantor $\exists$.

Bemærkning 61, s. 15: Kvantor foran en variabel i et prædikat gør prædikatet til et udsagn!

Er udsagn kategoriske eller tentative?

(Bemærkning i sektion 2.6, s. 17f). Det korte svar: Det kommer an på sammenhængen.

Definitioner

 

Logisk huskeseddel

Særligt nyttige afledte logiske sammenhænge. Udsagnene herunder kan eftervises (bevises) med sandhedstavler.

Sætning 49, side 12:

$\lnot\lnot p\equiv p$,

$p \wedge q\equiv q\wedge p$,    $p \vee q\equiv q\vee p$,

$(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge(q\wedge r)$,     $(p\vee q)\vee r\equiv p\vee(q\vee r)$,

$(p\wedge q)\vee r\equiv (p\vee r)\wedge(q\vee r)$,    $(p\vee q)\wedge r\equiv (p\wedge r)\vee(q\wedge r)$,

$\lnot(p\wedge q)\equiv \lnot p \vee \lnot q$,    $\lnot(p\vee q)\equiv \lnot p\wedge\lnot  q$,

$\lnot p\Rightarrow q\equiv \lnot p\wedge q$,

$\lnot p\Rightarrow q\equiv \lnot q\Rightarrow \lnot p$

Sætning 69, side 17: $\lnot \left(\forall x:p(x)\right)\equiv \exists x:\lnot p(x)$, $\lnot\left(\exists x : p(x)\right)\equiv \forall x:\lnot p(x)$.

For eksempel $\lnot \left(\forall x \exists y\forall z:p(x,y,z)\right)$ $\equiv \exists x \forall y \exists z:\lnot p(x,y,z)$

Referencer

One Response to DIS 2- Logik

  1. Morten Engelsmann says:

    Kom meget gerne med eksempler, rettelser, kommentarer! Siden understøtter matematiske og andre – $\LaTeX$ – kommandoer (gennem MathJax). Fx skrives al-kvantor $\forall$ i kommentarer som $$\forall$ (start med 1 ikke som vist 2 dollartegn!).

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *