DIS 5: Induktionsbevis

Induktionsbeviser bruges til at bevise udsagn, der gælder for alle hele (evt. naturlige) tal.

Collected tightrobe walker

Andet trin i induktionsbeviset: Vi antager at udsagnet gælder

  1. Undersøg, om udsagnet gælder for $n=1$.
  2. Antag at udsagnet gælder for et vilkårligt helt tal $n$.
  3. Vis så, at udsagnet er gyldigt for “næste skridt”, altså for $n+1$.

Eksempel: Formlen for fremtidsværdien af en annuitet, $A_n=y\frac{(1+r)^n-1}{r}$.

  1. Hvad betyder fremtidsværdien af en annuitet på 1 termin, $A_1$? Indsættes i formlen, fås $A_1=y\cdot \frac{(1+r)^1-1}{r}$ $=y\cdot \frac{1+r-1}{r}$ $=y\cdot \frac{r}{r}=y$. Da sidst indbetalte ydelse ikke forrentes i en annuitet, er formlen altså korrekt for $n=1$.
  2. Antag at formlen $A_n=y\frac{(1+r)^n-1}{r}$ gælder for vilkårlige naturlige tal $n\in \mathbb{N}$.
  3. Vi vil så undersøge, om formlen i $n+1$ gyldigt kan udledes herfra, idet vi antager at fremskrivningsformlen $K_n=K_0(1+r)^n$ gælder. Vi får hermed, at værdien af det allerede betalte, $A_n$, skal fremskrives med 1 rentetermin og dertil skal lægges en ikke forrentet ydelse (som jo for $n+1$ er den sidste), så fremtidsværdien af annuiteten efter $n+1$ terminer bliver: $A_{n+1}=A_n(1+r)+y$.

Udtrykket for $A_n$ substitueres ind, hvilket “er gyldigt”, for så vidt vi i trin 2 ovenfor antog at ligheden med $A_n$ gjaldt. Vi tør derfor skrive at $A_{n+1}=y\frac{(1+r)^n-1}{r}(1+r)+y$.

Vi ganger faktor $1+r$ ind på brøkens tæller og reducerer: $A_{n+1}=y\frac{(1+r)^n(1+r)-(1+r)}{r}+y=y\frac{(1+r)^{n+1}-1-r}{r}+y$.

Så finder vi en fælles nævner til leddene, vi forlænger leddet $y$ altså med $\frac{r}{r}$ og ganger samtidig $y$ ind på første leds tæller: $A_{n+1}=\frac{y(1+r)^{n+1}-y-y\cdot r}{r}+\frac{y\cdot r}{r}$.

Leddene $\pm y\cdot r$ går da ud med hinanden i tælleren, og vi får $A_{n+1}=\frac{y(1+r)^{n+1}-y}{r}$, hvor vi igen kan faktorere $y$ udenfor til: $A_{n+1}=y\cdot \frac{(1+r)^{n+1}-1}{r}$ som ønsket.

Hermed har vi ved induktion bevist formlen for en annuitets fremtidsværdi, $A_n=y\frac{(1+r)^n-1}{r}$.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *