DIS 3: Beviser

3.1 Gyldige slutninger

Vi kan med logisk gyldighed slutte fra udsagnene $p_1, p_2, \ldots, p_n$ til udsagnet $q$, hvis $\left(p_1\wedge p_2\wedge \ldots\wedge p_n\right )\Rightarrow q$ er sand for alle sandhedsværdier af $\lbrace p_i, 1\leq i\leq n\rbrace$ (dvs at implikationen er en tautologi jf. def. 11, s. 11).

Vig_skilt

Kan vi for skiltet her tilslutte os $q$?

Eksempel 1: Vig-skilt

Det er OK at sige $q$: “Informationstavlen kan kaldes et vejskilt”, hvis vi for en given informationstavle kan bekræfte følgende implikation $(p_1\wedge p_2\wedge p_3\wedge p_4\wedge p_5) \Rightarrow q $, hvor:

  • $p_1$: Skiltet er indrammet rødt.
  • $p_2$: Skiltet er officielt.
  • $p_3$: Skiltet bærer trafikal information.
  • $p_4$: Skiltet er stillet op langs en vej.
  • $p_5$: Skiltet reklamerer ikke.

Man kan svare, at det er indrammet med rødt ($p_1$), og samtidig at skiltet giver officiel information ($p_2$). Og at den information, skiltet giver, er trafikal ($p_3$ er sand, da skiltet angiver retning til en by). Desuden kan man  konstatere, at skiltet er opstillet langs vej ($p_4$).

Da alle fem præmisser (hypoteser)  $\left\lbrace p_i| 1\leq i\leq 5\right\rbrace$ er opfyldt, kan vi for Vig-skiltet i billedet bekræftende svare: Ja, det er et vejskilt.


Eksempel 2: Et andet skilt

Hvis man vil undersøge et skilt der informerer om en bedre vej end den oplagte, fx et (midlertidigt) skilt, der informerer om en hurtigere eller smukkere rute til fx Vig, måtte man overveje sandhedsværdien for dette skilt i $p_5$: Man måtte afgøre, om der er tale om en reklame. I så tilfælde: $\lnot p_5$.

Det turde være uden betydning for eksemplets forklaringskraft, om $p_i$-listen ovenfor er udtømmende eller overdrevent snæver.

Desuden kan vi, som en fortsættelse af ovenstående eksempel, benytte den logiske huskeseddel til at se på andre veje til “sandheden”: $p\Rightarrow q\equiv \lnot p\vee q$ og $p\Rightarrow q\equiv \lnot q\Rightarrow \lnot p$).

Eksempel 1 fortsat: Ækvivalens ml. implikation og negationers disjunktion

 

 Måder at drage en slutning på (inferensregler)

  • Modus ponens (inferens ved $(p\Rightarrow q)\wedge p\therefore p$): Hvis det regner, mødes vi i biografen ($p\Rightarrow q$). Det regner ($q$). Altså mødes vi i biografen ($p$). Bemærk, at udsagnet ikke oplyser om tilfældet $\lnot q$. Wp. Betydning af modus ponendo ponens: Måden, der bekræfter gennem bekræftelse (tfd).
  • Modus tollens (inferens ved $(p\Rightarrow q)\wedge \lnot q\therefore\lnot p$): Hvis jeg er øksemorderen, kan jeg bruge en økse (implikation $p\Rightarrow q$). Jeg kan jeg ikke bruge en økse (negeret konklusion $\lnot q$). Altså er jeg ikke morderen (negeret præmis $\lnot p$). WpBetydning: Benægtelse af konsekevensen. (sep).
  • Disjunktiv syllogisme (inferens ved $(p\vee q)\wedge\lnot p\therefore q$): Jeg kan vælge enten suppe ($p$) eller salat ($q$). Jeg skal ikke have suppe ($\lnot p$), altså tager jeg salat ($q$). WpBetydning af disjunkt syllogismeTo logiske udsagn smeltes sammen – sammensmeltning (sym-) af logik (logisme).
  • Hypotetisk syllogisme (inferens ved $p\Rightarrow q\wedge q\Rightarrow r\therefore p\Rightarrow r$): “Morlille er en sten”(implikationen $p\Rightarrow q$)  sluttes af implikationerne “En sten kan ikke flyve ($q\Rightarrow r$)”. og “Morlille kan ikke flyve $p\Rightarrow r$”. Wp.
  • Dilemma (inferens ved $(p\vee q) \wedge(p\Rightarrow r)\wedge(q\Rightarrow r)\therefore r$). Lÿtzen’s dilemma (ligning 3.6, side 21 har kun én udgang – samme $r$ – i modsætning til begge Wikipedias dilemma-typer, se nedenfor): Hvis jeg vinder en million ($p$), giver jeg pengene til en varmestue for hjemløse ($p\Rightarrow r$). Hvis min mor vinder en million ($q$), vil hun gøre det samme med pengene ($p\Rightarrow r$). Enten vinder jeg eller min mor ($p\vee q$), derfor får varmestuen en million ($\therefore r$). Betydning af di-lemma: Tvedelt (di-) udgangspunkt (lemma).
  • Abduktion (slutning til bedste forklaring): Hvis “alle” andre mulige forklaringer kan afvises, byder abduktionen sig til.

Bemærk at Wikipedia lister 2 fremgangsmåder – konstruktivt og destruktivt dilemma. I det hele taget lister Wikipedia en del flere inferensregler end de her nævnte.

  1. Konstruktivt dilemma (disjunktion mellem to konklusioner infereres fra disjunktion af to implikationer: $(p_1\Rightarrow q_1)\vee(p_2\Rightarrow q_2) \therefore (q_1 \vee q_2$): Hvis jeg vinder en million, vil jeg give dem til Kræftens bekæmpelse. Hvis min mor vinder en million, vil hun give pengene til Kattens Værn. Enten vinder jeg eller min mor. Så enten får Kræftens Bekæmpelse eller Kattens Værn en million.
  2. Destruktivt dilemma $(\lnot p_1\Rightarrow\lnot  q_1)\vee(\lnot p_2\Rightarrow \lnot q_2)$ $\therefore (\lnot p_1 \wedge \lnot p_2)$: Hvis forestillingen bliver en fiasko,  tager vi den af plakaten . Hvis forestillingen bliver en succes,  kører den det næste år. Vi vil hverken tage forestillingen af plakaten eller have den kørende det næste år. Derfor (sørger vi for) at den ikke bliver en fiasko, men (vi sørger) også for, den heller ikke bliver en succes

 3.2 Beviser

3.3 Direkte beviser

3.4 Modeksempler

3.5 Formodninger og deres behandling

3.6 Bevis ved kontraposition

3.7 Bevis ved modstrid

Argumentationsformer som antager en uholdbar position kun for at opnå modstrid, kaldes også reduktion ad absurdum. Et vigtigt eksempel er den exhaustionsmetode, som Eudoxos havde funderet tidligere.

3.8 Beviser delt op i tilfælde

3.9 Eksistenssætninger

3.10 Entydighedssætninger

3.11 Eksistens og entydighed

 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *